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 도대체 왜 수학은 그렇게 어려운 것일까? 왜 노력을 해도 점수는 여전히 나쁜 것일까? 이제부터 수학은 어떤 과목인지 그 특성에 대해 살펴보면서 그 원인을 찾아보자. 그리고 나서 어떻게 하면 그런 원인을 제거하여 수학을 잘 하는 사람이 될 수 있는지, 수학 공부의 비결에 대해서 알아보자.
사실 수학은 잘하는 사람보다는 못하는 사람이 더 많다. 뿐만 아니라 학년이 올라갈수록 못하는 사람의 비율은 급격히 높아져, 고등학교 3 학년 쯤 되면 사실 다른 과목은 몰라도 수학 과목만은 이미 공부를 포기한 사람들이 더 많다고 해도 틀린 말은 아닐 것이다. 고등학교 수학선생님에게 물어보아도, 고등학교 3 학년 학생 중 수업 내용을 제대로 이해하는 학생은 50명 중 10명이 채 안될 것이라고 대답한다. 그러니 수학은 결코 쉬운 과목이라고 말할 수는 없을 것이다.
그런데 한 가지 이상한 것은 다른 과목들의 시험 점수를 보면 100점도 없는 대신에 0점도 없이, 대부분 학생들의 점수가 그리 큰 차이가 없는데 반해, 수학 시험 점수만은 잘하는 사람과 못하는 사람의 점수 차이가 매우 크다는 것이다.
즉, 수학에서만큼은 다른 과목과는 달리 잘하는 사람과 못하는 사람이 뚜렷히 구분이 되어, 적지 않은 학생들이 거의 매번 0점에 가까운 점수를 받는가 하면, 또 어떤 몇몇 학생은 거의 매번 100점이나 혹은 거의 100점에 가까운 점수를 받는 경향이 있다. - 특히 주관식 수학 시험의 경우에는 더욱 그렇다. 그래서 수학과목은 다른 과목보다도 성적에 더 큰 영향을 주며, 입학 시험의 당락을 결정하는 결정적인 과목이 된다. -
수학이 그렇게 어려운 과목이라고 한다면, 못하는 것이 자연스러운 일이요, 오히려 매번 거의 만점을 맞는 '수학 도사'들이 특이한 사람이라고 해야 할 것이다. 그런데 우리는 수학을 좀 더 잘할 수 있었으면 하는 바람이 있으니, 이제부터는 그 특이한 사람들로부터 비결을 배워 우리도 한번 그들과 같이 특이한 사람이 되어 보아야 하지 않겠는가?
나는 이글을 쓰기 위해 일부러 수학 도사들을 몇명 찾아가 만나 보았다, 혹시 무슨 비법을 배울 수 있지 않을까 해서. 그런데 그들은 대부분 이렇게 애매하게 말하고 마는 것이다.
"나는 사실 수학 과목이 편합니다. 왜냐하면 기본 원리만 별 어려움 없이 많은 문제를 풀 수 있으니까요. 그러니 얼마나 간단합니까? 다른 과목들은 그렇지 않잖아요? 국사만 하더라도 고려시대에 대해 아무리 확실히 공부했다 해도, 조선시대 문제를 응용해서 풀 수 있는 것이 아니지 않습니까?
국어도 그렇고, 영어도 그렇고, 지리도 그렇고, 사회도 그렇고, 다른 과목들은 처음부터 끝까지 다 외워야 하지만, 수학은 '정리'나 '공식' 같은 것 몇개 하고, 몇 가지 기본 유형 문제 몇개만 공부해 두면 다른 모든 문제를 응용해서 풀 수 있으니 얼마나 편합니까? 그래서 나 같이 게으른 사람들한테는 수학이 제일 편한 과목이죠. 제 말이 맞지 않습니까?"
수학이 제일 편한 과목이라니? 물론 그러니까 수학 도사가 됐겠지.
어쨌거나 만약 우리가 수학을 좀 더 잘하고 싶은 마음이 있다면, 수학 도사들의 이 같은 말을 그저 이상한 소리로만 생각하여 흘려보내서는 안되겠다. 어떻게 해서든지 그들로부터 수학을 잘하는 비결을 배워야 하지 않겠는가? 그렇다면 그들의 이야기를 정확히 분석하여, 그 핵심을 파악해야 한다. 수학 도사들의 말을 우리는 다음과 같이 요약할 수 있을 것이다.
 수학은 편한 과목이다. 왜냐하면 다른 과목처럼 모두 다 외울 필요가 없으니까.
수학은 몇 가지 기본만 공부하면 많은 문제들은 그저 응용하여 다 풀 수가 있다.
수학 공부의 몇 가지 기본이란 '정리', '공식' 그리고 '기본 유형 문제'이다.
이렇게 요약하고 보니 수학공부 잘하는 비결도 별 것이 아닌 것 같다.
그렇다면 우리도 그까짓 것 못할 것도 없지 않겠는가?
우리는 각자 나는 과연 수학도사가 말한 수학공부 잘하는 비결 중 어떤 것을 소홀히 했는지 한번 점검해 보고 그 점만 고쳐나가면 될 것이다. 그러나, 앞의 이야기는 너무 간략해 우리가 자기 점검을 하는 기준으로 삼기에는 충분하지 못한 것 같다.
그렇다면 이제부터는 내가 수학 도사들로부터 얻어들은 수학 잘하는 비결을 나름대로 정리하여 좀 더 자세히 설명하도록 할테니 여러분은 자기 공부 방식과 비교해 보고, 나의 수학 공부 방법 중 잘못된 부분은 지금부터 고쳐나가기를 바란다. 수학 도사들의 수학 공부 비결을 정리해 보니 그들은 대부분 다음과 같은 4 단계로 수학공부를 해나가는 것으로 밝혀졌다.
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제 1 단계 : 개념과 원리의 이해
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제 2 단계 : 공식 암기 |
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제 3 단계 : 기본 문제 유형별 훈련 |
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제 4 단계 : 실전 연습 |
이제 부터 각각의 단계가 무엇이며 어떻게 하는 것인지 좀 더 자세히 설명하겠다.
 제 1 단계: 개념과 원리의 이해
 개념과 원리 이해란 무엇인가? 예를 들어 설명해보자.
중학교 3 학년 이상이라면 여러분은 이차 방정식 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)의 근의 공식이 임을 알 것이다. 그리고 그 근의 공식을 이용하여 대부분의 이차방정식 문제를 풀 것이다.
그렇다면 이제 여러분에게 물어보자. 여러분은 이차 방정식 ax2 + bx + c = 0
(a≠0)의 근이 왜 인지 아는가? 스스로 주어진 이차방정식에서 근의 공식을 유도해낼 수 있는가? 그리고 또 그 근의 의미가 무엇인지 이차 함수의 그래프를 그려 설명할 수 있는가? 지금 당장 혼자 힘으로 해보라.
아마 쉽게 잘 되지는 않을 것이다. 근의 공식 유도 과정은 사실 꽤 복잡한 편이다.
그렇다면 비록 오래 전의 일이긴 하겠지만, 여러분이 이 근의 공식을 처음 배웠을 때의 기억을 다시 한번 되살려보라. 그 때 과연 여러분은 교과서나 참고서에 나온 근의 공식 유도 과정을 유심히 들여다 보았었는가?
만약 여러분이 그 때 그것을 열심히 보지 않았다면, 여러분은 이차방정식에 있어서의 수학의 묘미를 놓친 사람이며, 더구나 근의 의미를 그래프로 설명하지 못하는 사람이라면 현재 아무리 이차방정식 문제를 잘 푸는 학생이라 하더라도 이차 방정식의 기본 개념이나 원리에 대해서는 정확히 모르는 사람이라 해야 할 것이다.
왜냐하면 바로 그것들이 이차방정식의 기본 개념이며 원리이니까.
만약 그 때 그 근의 유도 과정을 유심히 살펴보았던 학생이라면, 여러분은 그때 어떤 생각으로 그것을 보았으며, 또 그것을 볼 때의 기분은 어떠하였는가? 만약 그 때 그 과정을 보면서 아무런 신기한 느낌도 없었다면, 혹은 대충 훑어보면서 '그래, 그런 것 같기도 하군' 하는 정도로 보아넘긴 사람이라면, 그런 사람들 역시도 수학의 참 맛을 제대로 모르는 사람이다.
그렇다면 수학의 개념과 원리를 알고, 수학의 참 맛을 아는 사람은 어떤 사람인가?
그런 사람이란 이 이차방정식의 근의 공식 유도과정을 보며 '놀라움과 신기함'을 느꼈던 사람이다. 그런 사람은 유도 과정 중 (지금 당장 수학책의 그 부분을 찾아보라),
첫번째로 양변을 a로 나누는 과정과 두번째로 좌변에 을 더했다가 빼는 과정을 보면서, 그리하여 좌변의 만 우변으로 넘기면 좌변은 곧 의 형태로 만들 수 있는 준비를 하는 것을 보면서, '아하, 바로 이렇게 하는구나. 기가 막히네. 누가 이런 생각을 해냈을까!'하고 감탄했을 것이다. 바로 그 감탄, 탄복이 바로 수학의 즐거움이며, 참 맛이다.
보기에는 쉬운 것 같았는데 막상 혼자 해보니 잘 안되어 막혔던 부분을 해결하는 방법! 바로 그런 생각! 보고나면 간단한데 혼자서는 생각해내기 어려운 발상, 바로 그것이 이 증명 문제에서의 핵심이며, 또 묘미인 것이다.
근의 공식의 증명 과정은 사실 혼자 힘으로 생각해내거나, 혹은 한번 보았다 하더라도 다시 기억해내기는 쉽지 않다. 그러나, 그렇다 해도 그 증명과정에 대해서는 아무런 관심을 갖지 않았거나, 혹은 눈으로 보면서도 대충 그럴 것 같다는 생각만 하고 말았다면, 그런 사람들은 수학의 즐거움을 결코 알 수 없을 것이며, 또 그런 결과로 수학을 잘 하기도 어려울 것이다.
수학 공부의 즐거움은 크게 2 가지인데, 그 하나는 바로 수학의 원리나 논리의 전개 과정을 '이해'하는 것이고, 나머지 하나는 문제를 제대로 풀어서 정답을 맞추는 것이다.
이 중 더 본질적인 것은 첫번째 것이며, 두번째 것은 수학적으로 보면 부수적인 것에 불과하다.
왜냐하면 첫번째 것만 제대로 했다면, 두번째 것은 그것을 그대로 적용하거나 혹은 조금만 응용하면 되는 것이니까(물론 그것도 쉬운 일은 아니지만.) 다시 말하면 수학의 개념과 원리야 말로 참신한 수학적 아이디어인 것이지, 문제를 풀어 답을 내는 것은 단지 기계적인 계산의 결과일 뿐이라는 것이다.
그렇다면 앞으로 수학을 더 잘해보고자 하는 마음이 있는 사람이라면 누구나 수학의 개념이나 원리를 이해하는데 좀 더 많은 노력을 기울여야 할 것이다.
지금까지 '피타고라스의 정리'나 이차방정식의 '근의 공식' 등과 같은 많은 정리와 공식을 공부할 때 그 결과만을 그저 외우기만 했던 학생이라면, 이제부터는 그 증명 과정을 좀 더 열심히 보고 이해하려 노력해야 할 것이며, 만약 그것을 보아도 이해가 안되는 사람이라면 그 수준에 맞지 않는 사람이니 그 아래 학년의 수학적 개념이나 원리부터 다시 공부하고 올라와야 할 것이다.
(예를 들면 이차방정식 근의 공식 유도과정을 보고도 이해가 안되는 사람은 인수분해부터 다시 확실히 공부해야 한다.)
수학에는 결코 '대충'이란 것이 없다.
'확실히' 이해가 되어야만 아는 것이고, '조금'이라도 모르면 모르는 것이지, '대충' 알 것 같다는 것은 있을 수 없다. 다른 과목에서는 그렇지 않을 수 있지만, 수학에서만큼은 '대충' 알 것 같다는 것은 '전혀' 모르는 것과 같다. 아니, 어쩌면 전혀 모르는 것보다 '대충' 안다고 생각하는 것이 더 나쁠지도 모른다.
왜냐하면 그렇게 생각하는 사람은 자기가 아는지, 모르는지도 몰라 무엇을 다시 공부해야 하는지도 모를테니까. 이제부터는 수학의 공식이나 정리의 증명 과정에 관해서만큼은 '아하, 바로 이렇게 하는 것이구나.' 하고 분명히 이해해서 감탄이 나올 수 있을 정도로 확실히 알고 넘어가도록 해야겠다.
물론 그 증명을 보고 난 후 혼자서도 그대로 할 수 있으면 가장 좋겠지만(언젠가 서울대학교 본고사에서도 이차방정식 근의 공식을 유도해 내라는 시험문제도 났었으니까.), 만약 그렇게 하기가 어렵다면 최소한 눈으로 보면서 이해만은 확실히 하고 넘어가 버릇해야한다. 그렇게 하는 사람만이 수학하는 재미를 제대로 알 수 있게 될 것이며, 그러다보면 수학 점수도 점 점 더 좋아지게 될 것이다.
 제 2 단계: 공식 암기
공식이란 정리의 일종으로서 선배 수학자들이 천재적인 머리를 사용하여 그것이 참임을 증명해낸 수학의 명제들이다.
'직각삼각형에서 직각을 끼지 않는 빗변의 제곱은 다른 두변의 각각의 제곱을 합한 값과 같다'는 '피타고라스의 정리'만 해도 그것이 증명된 것은 벌써 2,500년 쯤 전의 까마득한 옛날의 일인데, 우리는 오늘날에도 그것을 혼자 힘으로 다시 증명해 보이기가 쉽지 않다.
공식이나 정리의 증명 과정을 이해하는 것이 앞의 제 1 단계에서 해야하는 일이라면, 제 2 단계에서는 그 증명의 결과인 수학적 공식들을 확실히 암기하는 일을 해야 한다.
공식이란 곧 수학에서 있어서의 기본 도구라 할 것이니, 그것들을 얼마나 정확하게 암기하여 필요한 때에 제대로 사용할 수 있느냐에 따라 수학 점수가 결정되는 것이다.
기본 개념과 원리는 분명히 이해한 사람이라도 공식을 안 외우고 있으면 문제를 풀 때마다 매번 스스로 기본 공식을 유도해 낸 후에 그것을 사용해야 할 것이니, 시간은 얼마나 많이 들 것이며, 번거롭기는 또 얼마나 번거롭겠는가? 그래서는 수학에서 좋은 점수를 받기는 아예 틀린 일이다. 톱과 대패 같은 기본적인 연장도 갖추지 못한 목수가 어떻게 집을 제대로 지을 수 있겠는가?
이차방정식을 배운 학생이라면 근의 공식이 입에 딱 붙어있어야 한다. 그 정도는 입에서 술술 나와 나지 떠듬떠듬, 맞을 동, 틀릴 동 해서는 수학 문제를 풀 생각을 아예 하지 말아야 한다. 구구단을 못 외우고서는 산수 문제를 풀 생각을 하지 말아야 하는 것처럼. 중고등학교 수학에서는 학생들이 외워야 할 여러가지 공식, 정리, 그리고 법칙이 있다.
예를 들면, 인수정리, 나머지 정리, 인수분해 공식, 근의 공식, 드 모르간의 법치, 지수법칙, 사인법칙, 제일코사인법칙, 제이코사인법칙 등이 그런 것이다. 인수분해 공식에서 a2 - b2 을 인수분해 하면 무엇이 되는가? (a + b)(a - b)라는 것은 누구나 알 것이다. 이 정도는 잠 자는 중에 깨워서 물어보아도 자동적으로 나올 수 있도록 철저히 암기해 두어야 한다.
이 두번째 단계에서 수학 공식들을 확실히 외웠다면, 이제 그 다음 단계인 3 단계로 넘어가도록 하자.
 제 3 단계: 기본 문제 유형별 훈련
'기본 문제 유형'이란 무엇인가? '수학의 정석'이라는 수학 참고서를 예로 들면 그 책에 '필수 예제'라는 이름으로 나와있는 문제들이다. 그 문제들이 바로 그 분야 수학 문제의 대표 선수 격인 것들이다. 각각의 기본 문제 유형은 그것을 푸는데 필요한 독특한 방식이 있다.
그 방식을 정확히 이해하고 암기하여, 그 밑의 '유제'를 풀 때 적용해야 한다.
'기본 문제 유형별 훈련と이란 수학에 있어 문제를 풀기 위한 기본기를 닦는 과정이라 하겠다. 모든 일이 기본기가 잘 되어 있어야 실수도 적고 시간이 갈수록 실력이 더 늘지 않는가? 태권도에서도 기본 자세와 기본 동작이 중요하고, 테니스에서도 그렇고, 피아노 배우는데도 역시 마찬가지이다. 마음이 급하다고 기본기 훈련을 소홀히 하고 바로 시합이나 연주로 들어가면 실력이 느는 것이 아니라 오히려 자신감만 잃게 되기가 쉽다.
수학도 꼭 그와 같아서 '필수 예제'를 이해하고 '유제'를 통해 그런 유형을 확실히 익히지 않은 채로 바로 시험 문제를 풀려고 하다 보면 어디서부터 손을 대야할지도 몰라 당황하게 되어, 수학에 점차 공포심을 갖게 된다. 수학능력시험이나 대학 본고사에 나오는 문제도 얼뜻 보기에는 매우 복잡한 문제 같지만 찬찬히 분석해 보면 몇가지 '기본 문제 유형'을 섞어 놓은 것에 불과하다.
그러니까 수학을 잘하고 싶은 사람들은 차분한 마음으로 '필수 예제'를 익히는데 최선을 다해야 한다. 수학 공부하는데 있어서는 바로 이 제 3 단계에 가장 많은 시간과 노력을 투자해야 할 것이다. 기본문제 유형별 훈련을 충실히 하면 할수록 모든 수학 문제들이 점차 뻔한 문제로 보이게 된다. 문제를 척보면 그 구성이 한 눈에 보여서 어떤 순서로 풀어 나가야 할지 감이 확 잡히는 것이다.
어떤 수학 도사가 말하기를 중, 고등학교 수학에는 기본 문제 유형이 약 1,000개 정도가 있는데, 그것들만 충실히 익혀 자유자재로 응용할 수만 있으면, 수학은 항상 만점을 받을 수 있다고 한다. 1,000개가 결코 적은 숫자는 아니지만, 하나, 둘 공부하다 보면 갈수록 이해와 숙련의 속도가 점점 더 빨라질 것이니 겁먹지 말고 지금부터라도 하나, 하나 착실히 공부해 나가야 하겠다. 수학 시험에서 좋은 점수를 받느냐, 못받느냐는 바로 제 3 단계인 기본 문제 유형별 훈련에 달려 있음을 명심해야 할 것이다.
 제 4 단계: 실전 연습
이제는 수학 공부의 마지막 단계이다. 앞의 세 단계를 충실히 다져온 사람이라면, 이제는 그 동안 튼튼히 닦아온 기본기를 바탕으로 연습이 아닌 진짜 시합을 해보고 싶은 마음이 생길 것이다. 지금까지 훈련할 때 사용한 나무칼을 버리고 진짜 칼로 승부를 해보고 싶은 유혹을 받는 것이다. 그럴 때 도전하게 되는 문제가 정석 책에서는 '연습문제'요, 또 지금까지의 '대입수능검사' 및 각 대학의 '본고사' 기출 문제이다.
앞에서도 이야기했던대로, 그런 문제들은 어떤 한가지 기본 유형에 속하는 것이 아니라, 여러가지 기본 유형이 복합된 것들이다. 그러므로 앞 단계들을 충실히 했다고 해도 쉽게 풀리지만은 않는다. 물론 앞 단계들을 충실히 하지 않은 사람이라면 전혀 손도 대지 못하는 것이 당연한 일이고.
실전 문제에 도전할 때는 먼저 이 문제는 어떤 기본 유형의 변형인지, 혹은 어떤 기본 유형과 또 다른 어떤 기본 유형이 섞여있는 문제인지 분석해보아야 한다. 그것이 바로 '문제의 이해'이다. 문제를 풀 수 있으려면 주어진 문제가 무엇을 요구하는 것인지 우선 알아야 하지 않겠는가? 그런데 그것도 그리 쉬운 일이 아니다. 문제를 제대로 이해하는 것도 상당한 실력을 요구한다. 앞에서 이야기한 1,2,3 단계의 공부가 바로 '문제 이해'의 능력을 키워주는 준비 단계라 할 것이다.
문제가 이해된다는 것은, 문제에서 주어진 조건들을 각각 어떻게 이용해야 할지 알 수있게 된다는 것이다. 수학 문제란 곧 '주어진 모든 조건'을 이용하여 '요구되는 결과'를 논리적으로 도출해 내는 과정이니까. 만약 주어진 조건 중에 이것은 어떻게 하라는 것인지 잘 모르겠다면 그 문제는 애초부터 풀기는 틀린 문제이다.
왜냐하면 수학문제에서는 한가지라도 쓸데없는 조건을 제시하는 경우는 없으니까. 그렇다면 즉시 앞으로 돌아 가서 그 조건을 이해하는데 필요한 기본 개념이나 원리를 다시 공부하거나, 혹은 기본 문제 유형 중에 그런 조건을 사용한 문제를 확실히 복습하고 돌아와야 한다.
문제가 확실히 이해되었다 하더라도 실전 문제들은 결코 쉽게 술술 풀리지는 않는다.
풀다보면 중간 어디에선가 막히는 일이 많다. 어떻게 해야할지 좀처럼 생각이 안나거나, 이렇게 해봐도 안되고, 저렇게 해봐도 해결이 되지 않는 것이다. 이럴 때 어떻게 하느냐, 하는 것이 수학 실력을 쌓는데 중요한 영향을 미친다.
물론 조금만 안 풀리면 즉시 해답을 들쳐보아서는 실력이 늘 수가 없다.
잘 안되더라고 이 생각, 저 궁리 해보는 과정이 바로 수학 실력을 증진시키는 일이 된다. 그러다가 문득 해결 방법이 생각이 나서 문제를 정확하게 풀 수 있으면 그야말로 기분 만점이 된다.
그러나, 그런 일은 그리 많지 않다. 아무리 생각해봐도 해결책이 안보이는 경우가 더 많은데, 그때는 어쩔 수 없이 해답을 봐야 한다. 혼자 풀어보려고 고생해 본 사람이라면, 해답을 보면서 '아, 이렇게 하는거구나'하는 감탄과 함께 '나는 왜 이런 생각을 못했을까, 이 멍청이' 하는 안타까움을 느끼게 된다. 수학 공부에서는 바로 그런 감탄과 안타까움이 중요하다.
그런 감탄과 안타까움은 그 해결 과정을 제대로 이해한 사람만이 느낄 수 있는 것이며, 또 그런 이해를 통하여 그 문제를 푸는 새로운 방법을 확실히 익힐 수 있게 되는 것이다. 그러므로 그런 느낌을 느껴보지 못한 사람이라면 수학을 전혀 모르는 사람이라 해야할 것이다.
도대체 왜 그런 느낌을 못 가질까? 해답을 보아도 그 풀이 과정을 이해하지 못하기 때문이다. 그런 사람이라면, 역시 앞의 기본 개념과 원리나 혹은 기본 문제 유형을 다시 공부해야 한다. 또 어떤 사람은 그것까지 다시 공부했는데도 여전히 풀이 과정을 이해하지 못하는 수가 있다.
그런 사람 중에는 중고등학교 수학의 가장 기본이 되는 방정식, 부등식, 함수에 대한 이해가 부족한 경우가 많다. 그렇다면 역시 방정식, 부등식, 함수에 대한 공부를 다시 철저히 함으로써 풀이 과정을 이해할 수 있도록 노력해야 할 것이다. (방정식, 부등식, 함수도 이해가 안되는 사람은 그것보다 더 기본이 되는 집합과 인수분해부터 시작해야 한다.)
한편, 해답을 보면 이해를 할 수 있는 사람 중에서도 그 풀이 과정을 그저 눈으로만 보면서 감탄과 안타까움을 느끼는 것으로 끝내버리는 사람이 적지 않다. 그래서는 수학 실력이 늘지 않는다. 눈을 볼 때는 다 아는 것 같은데, 나중에 같은 문제를 또 보게 되면 여전히 풀지 못하는 것이다. 그렇다면 어떡게 해야 하나? 해답을 볼 때도 끝까지 볼 것이 아니라 막혔던 부분을 푸는 방법만 보고나서, 다시 연습장으로 돌아와 내 손으로 써가며 다시 풀기 시작해야 한다.
그러다가 또 막히면 다시 해답에서 그 부분만 보고 다시 와서 풀고, 그런 식으로 해야한다. 그럼으로써 어쨌든 그 풀이의 전 과정을 내 머리와 내 손을 사용하여 완성해야만 하는 것이다. 그런 후에는 다시 그와 유사한 문제를 접해 이번에는 해답을 보지 않고 순전히 내 힘만으로 풀 수 있으면, 이제는 분명히 그 문제를 풀 수 있는 실력을 갖게 된 것이라고 확신해도 좋다. 아, 수학 공부는 아무래도 만만하지가 않다!
지금까지 수학 도사들이 권하는 수학 공부의 비결을 4 단계로 나누어 살펴보았다. 이제는 마지막으로 수학 공부 할 때 조심해야 하는 몇가지 주의 사항을 전달하고 이 장을 마치고자 한다.
앞의 수학공부 4 단계에서는 수학에서의 '이해'와 '암기'의 중요성에 대해서는 충분히 강조되었는데, 수학 실력의 3 요소 중 한가지가 상대적으로 소홀히 되었던 것 같다. 그것이 바로 '계산력'인데, 수학은 이해 및 암키와 함께 계산능력이 모두 중요한 과목인 것이다. 사실 계산은 수학은 본질적인 부분은 아니다. 그러나, 아직까지 우리나라에서는 중,고등학교 수업시간에는 물론 대학입학고사인 '수학능력시험'과 '대학 본고사'에서도 전자계산기를 사용할 수 없게 되어 있다.
그렇기 때문에 계산 실력이 떨어지는 사람은 수학의 원리를 잘 이해하고 기본 공식을 잘 외우고 있다하더라도 문제를 푸는 도중에 계산 실수를 하거나, 혹은 제대로 풀더라도 시간이 부족하여 좋은 점수를 받지 못하게 된다. 그렇다면 어쩔 수 없이 계산 능력도 키워놓아야 한다. 그러려면 역시 자기 손으로 문제를 많이 풀어 보는 수 밖에 없다.
그리고, 수학 문제를 풀때 글씨를 작고 깨끗하게 쓰면서, 한줄 한줄 차분하게 써내려가는 것이 중요하다. 수학은 논리이며, 사고의 순서이다. 그러므로 다른 어떤 과목보다도 순서를 어기지 않는 것이 필요하다. 그러기 위해서는 문제 푸는 과정에 있어서도 순서에 따라 정성스럽게 써내려가는 버릇을 길러야 한다. 그러고 보면, 결국은 문제도 많이 풀고, 한 문제를 풀더라도 정성을 들이는 것이 수학 공부를 잘 하는 비결이라고 말할 수 밖에 없다.
수학 공부를 잘하고자 하는 사람이 명심해야 할 또 한 가지는 수학 공부는 한 문제를 푸는 중의 순서뿐만 아니라 진도의 순서도 철저히 따라야 한다는 점이다. 수학 공부의 순서(즉, 교과서와 참고서의 차례)에 따라 자기 자신이 하나 하나 철저히 익히고 넘어가야지 그 순서를 어기거나, 혹은 대충 보고 넘어가서는 절대로 안된다.
옆의 친구들이 진도를 빨리 나가니까 나도 조급한 마음에 대충 대충 하고 넘어간다거나, 혹은 친구들이 수준 높은 어려운 문제지를 푸니까 나도 하던 책을 덮고 그 책을 사서 쫓아 푼다던가 해서는, 실력이 늘기는 커녕 오히려 떨어지게 되어 있다. 다른 어떤 과목보다도 수학은 기초 실력이 더욱 더 중요하다. 국사는 설사 고려시대를 제대로 공부하지 못했다 하더라도 조선시대를 공부하는데는 아무런 지장이 없는데, 수학에서는 아래 학년의 공부를 제대로 못했으면 그 다음 학년의 공부를 해 낼 수가 없다. 그만큼 수학에서는 공부의 순서와 기초실력이 중요한 것이다.
만약 여러분이 수학 실력을 높이고 싶다면 자신의 수학 수준을 정확히 파악하여, 자신이 진도를 놓쳤던 바로 그 부분부터 공부를 다시 시작하려고 하는 사람은 참고서나 문제집 선정에도 주의해야 한다. 어떤 책들은 지나치게 어렵거나 배배 꼬인 문제만 많이 선택하여 수록하였는데, 그런 책들은 좋은 책들이 아니라 오히려 나쁜 책이라고 보아야 한다. 왜냐하면 여러분이 중고등학교에서 수학을 배우는 것은 수학의 기본적 개념과 논리적 구조의 이해를 통하여 기초적인 수학 능력과 논리적 사고력을 키우기 위함이지, 퀴즈 풀이에서나 필요한 순간적인 재치나, 수학 올림피아드에나 적합할 법한 극도의 창의성을 개발하기 위한 것이 아니기 때문이다.
너무 어렵거나 함정이 숨어있는 문제들만 자꾸 접하다 보면 웬만한 학생들은 기가 죽어서 아예 수학에 정이 떨어져 버리기가 쉬우며, 아무리 수학의 기본이 잘 되어있는 학생이라 하더라도 풀다보면 매번 걸리게 되기 때문에 자신감만 잃게 될 뿐이다. 그런 문제를 잘 푼다고 해서 대학 입시에서 더 좋은 점수를 받는 것도 아니다. 그러니 여러분은 그런 책은 필히 피하도록 할 것이며, 그 대신 수학의 기본을 반복해서 묻고 있는 가정 정석적인 참고서나 문제지를 택하여 계속 기본기를 충실히 닦는 것이 좋겠다.
설사 진도가 좀 늦었다고 해도 너무 걱정하지 말라. 앞에서 소개한 수학 도사의 말처럼 수학에서는 기본적 개념과 원리만 제대로 알면 모든 문제를 응용하여 풀 수 있을 뿐만 아니라, 실력이 느는 속도도 시간이 갈수록 빨라져서 생각했던 것보다는 짧은 시간 안에 자기 학년의 수준에 도달하게 될 것이다. 그러니 너무 불안해 하고, 초조해 하지 말라. 다만 하루라도 쉬지 말고 조금씩이라도 매일 하라(단, 토요일만은 제외). 수학에 관해서는 다음과 같은 속담이 진리이다.
'늦었다고 생각할 때가 가장 빠른 때다.'
'아무리 바빠도 바늘 허리 매어 못쓴다.'
'천리길도 한걸음부터'
마지막으로 수학 공부는 많은 문제를 대충 푸는 것보다는, 적은 수의 문제라도 직접 자신의 손으로 정성을 다하여 철저히 이해하면서 푸는 것이 더 중요하다는 것 - 물론 많은 문제를 철저히 이해하며 풀수만 있다면 더 좋겠지 - 을 다시 한번 강조하며 이 장을 마친다.
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